Отец - донецкий шахтер, мать учительница, Алексей был девятым ребенком в семье. В 1938 году он вместе с матерью переехал в Кемерово, ещё в школе Леонов интересовался авиатехникой и внимательно изучал устройство самолётов, основы теории полёта. В 1953 году Алексей без особого труда поступил в школу летчиков в Кременчуге, затем обучался в высшем училище летчиков-истребителей в Чугуеве, с 1957 по 1959 год летал в боевых полках. В 1960 году Леонов выдержал жёсткий отбор и был зачислен в отряд космонавтов.
В марте 1965 года вместе с Павлом Беляевым Алексей Архипович совершил полет на космическом корабле "Восход-2" в качестве второго пилота.
Во время полета, который длился одни сутки 2 часа 2 минуты и 17 секунд, впервые в мировой истории человек вышел в открытый космос, удалился от космического корабля на расстояние до пяти метров и провел вне шлюзовой камеры в открытом космосе 12 минут 9 секунд. Это событие дало начало новому направлению деятельности человека в космосе.
После полёта Алексей Леонов с 1967 по 1970 возглавлял лунную группу космонавтов.
В 1973 году он был отобран Академией наук СССР и НАСА (США) для совместного полета кораблей "Союз" и "Аполлон". СССР представляли летчики-космонавты А. А. Леонов и В. Н. Кубасов. Со стороны США - астронавты Т. Стаффорд, В. Бранд, Д. Слейтон. В июле 1975 года был осуществлен совместный полет, командиром корабля "Союз" был Алексей Архипович Леонов.
Во время совместного полета советского корабля "Союз-19" и американского "Аполлона" впервые в истории космонавтики была произведена стыковка космических кораблей, а также было проведено множество астрофизических, медико-биологических, технологических и геофизических экспериментов. Полет длился более пяти суток и положил начало новой эре в освоении космоса.
В дальнейшем Алексей Леонов активно занимался научной деятельность по освоению космоса, он дважды удостаивался высокого звания Героя Советского Союза (1965, 1975), а также званий лауреата Государственной премии СССР (1981) и лауреата премии Ленинского комсомола. Он является почётным гражданином 30 городов мира: Вологда, Калининград, Кемерово, Пермь, Чугуев, Кременчуг и других.
Именем Леонова назван один из кратеров на Луне.
Алексей Леонов избран действительным членом Международной академии астронавтики, академиком Российской академии астронавтики, сопредседателем Международной ассоциации участников космических полетов (1985-1999), имеет ученую степень кандидата технических наук.
Интересным фактом является то, что Алексей Архипович всегда увлекался живописью, он написал более 200 картин и 5 художественных альбомов на темы космоса, а также является автором книг и монографий: "Пешеход космоса" (1967), "Солнечный ветер" (1969), "Выхожу в открытый космос" (1970) и другие.
В отставку А. А. Леонов вышел в звании генерал-майора авиации, в настоящее время передает свой опыт молодежи.